Question

【題目】已知函數f（x）= 是定義在（﹣1，1）上的奇函數，且f（1）=1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）在（﹣1，1）上的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）= 是定義在（﹣1，1）上的奇函數，

∴f（0）=0，

又∵f（1）=1．

∴ ，

解得： ，

∴函數f（x）=

（2）解：f（x）在（﹣1，1）上單調遞增，理由如下：

∵f′（x）= ，

當x∈（﹣1，1）時，f′（x）≥0恒成立，

故f（x）在（﹣1，1）上單調遞增

【解析】（1）根據奇函數的特性，可得f（0）=0，結合f（1）=1，構造方程組，解得函數f（x）的解析式；（2）利用導數法，可證得f（x）在（﹣1，1）上單調遞增．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法和利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．