Question

設函數定義在上，，導函數，．
（1）求的單調區間和最小值；
（2）討論與的大小關系；
（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）區間在是函數的減區間；區間在是函數的增區間；最小值是
（2）當時，=0，∴；
當時，=0，∴．
（3）不存在，見解析

（1）先求出原函數，再求得，然后利用導數判斷函數的單調性（單調區間），并求出最小值；（2）作差法比較，構造一個新的函數，利用導數判斷函數的單調性，并由單調性判斷函數的正負；（3）存在性問題通常采用假設存在，然后進行求解；注意利用前兩問的結論．
（1）∵，∴（為常數），又∵，所以，即，
∴；，
∴，令，即，解得，
當時，，是減函數，故區間在是函數的減區間；
當時，，是增函數，故區間在是函數的增區間；
所以是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，
所以的最小值是．
（2），設，
則，
當時，，即，
當時，，，
因此函數在內單調遞減，
當時，=0，∴；
當時，=0，∴．
（3）滿足條件的不存在．證明如下：
證法一 假設存在，使對任意成立，
即對任意有             ①
但對上述的，取時，有，這與①左邊的不等式矛盾，
因此不存在，使對任意成立．
證法二 假設存在，使對任意成立，
由（1）知，的最小值是，
又，而時，的值域為，
∴當時，的值域為，
從而可以取一個值，使，即,
∴，這與假設矛盾．
∴不存在，使對任意成立．