Question

【題目】如圖，曲線由兩個橢圓：和橢圓：組成，當成等比數列時，稱曲線為“貓眼曲線”.

（1）若貓眼曲線過點，且的公比為，求貓眼曲線的方程；

（2）對于題（1）中的求貓眼曲線，任作斜率為且不過原點的直線與該曲線相交，交橢圓所得弦的中點為M，交橢圓所得弦的中點為N，求證：為與無關的定值；

（3）若斜率為的直線為橢圓的切線，且交橢圓于點，為橢圓上的任意一點（點與點不重合），求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2）見解析（3）見解析

【解析】

由題意知，，從而求貓眼曲線的方程；設交點，，從而可得，聯立方程化簡可得，；從而解得設直線l的方程為，聯立方程化簡，從而可得，同理可得，從而利用兩平行線間距離表示三角形的高，再求；從而求最大面積．

（1），，

，；

（2）設斜率為的直線交橢圓于點，線段中點

由，得

存在且，，且

，即

同理，

得證

（3）設直線的方程為

，

，

，

，

兩平行線間距離：

的面積最大值為