Question

【題目】已知拋物線：.

（Ⅰ）、是拋物線上不同于頂點的兩點，若以為直徑的圓經過拋物線的頂點，試證明直線必過定點，并求出該定點的坐標；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，拋物線在、處的切線相交于點，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）必過定點；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）直線與拋物線聯立，得到，為直徑的圓經過拋物線的頂點，則，代入的關系，得到解出的值，從而求出直線過的定點.

（Ⅱ）拋物線在、處的切線分別表示出來，解得點坐標，求出線段的長和到直線的距離，表示出的面積，得到取值范圍.

解：（Ⅰ）顯然直線的斜率存在，設的方程為，，，

由消去整理得，

∴即，，，

∵為直徑的圓經過拋物線的頂點，

∴ ，

∴，即直線方程為，所以必過定點.

（Ⅱ）由得，∴，

∴拋物線在、處的切線分別為和，

解 得 .

∵ ,

到直線的距離,

∴，

∴面積的取值范圍是.