Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．

（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若M為棱PC的中點，求異面直線AP與BM所成角的余弦值；
（3）若二面角M﹣BQ﹣C大小為30°，求QM的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD∥BC，BC= AD，Q為AD的中點，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ

又∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）解：∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如圖，以Q為原點建立空間直角坐標(biāo)系．

則Q（0，0，0），A（1，0，0）， ， ，C（﹣1， ，0）

∵M是PC中點，∴ ，

∴

設(shè)異面直線AP與BM所成角為θ

則cosθ= = ，

∴異面直線AP與BM所成角的余弦值為 ；

（3）解：由（2）知平面BQC的法向量為 ，

由 ，且0≤λ≤1，得 ，

又 ，∴平面MBQ法向量為 ．

∵二面角M﹣BQ﹣C為30°，∴ ，

∴ ．∴|QM|=

【解析】（1）由題意易證QB⊥AD，由面面垂直的性質(zhì)可得BQ⊥平面PAD，可得結(jié)論；（2）易證PQ⊥平面ABCD，以Q為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則可得相關(guān)點的坐標(biāo)，可得向量 和 的坐標(biāo)，可得夾角的余弦值，由反三角函數(shù)可得答案；（3）可得平面BQC的法向量為 ，又可求得平面MBQ法向量為 ，結(jié)合題意可得λ的方程，解方程可得λ，可得所求．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．