Question

已知{a_n}是正數組成的數列，a₁＝1，且點(，a_n+1)(n∈N*）在函數y＝x²＋1的圖象上.(Ⅰ)求數列｛a_n｝的通項公式；(Ⅱ)若列數｛b_n｝滿足b₁＝1,b_n+1＝b_n＋2a_n，求證：b_n            ·b_n+2＜b²_n+1.

Answer 1

(Ⅰ)a_n＝n  (Ⅱ)  見解析

(Ⅰ)由已知得a_n+1＝a_n＋1，即a_n+1－a_n＝1，
又a₁＝1，所以數列｛a_n｝是以1為首項，公差為1的等差數列，故a_n＝1＋(a－1)×1＝n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a_n＝n從而b_n+1－b_n＝2ⁿ.
b_n＝(b_n－b_n-1)＋(b_n-1－b_n-2)＋…＋（b₂－b₁）＋b₁＝2^n-1＋2^n-2＋…＋2＋1＝＝2ⁿ－1.
因為b_n·b_n+2－b＝(2ⁿ－1)(2ⁿ⁺²－1)－(2^n-1－1)²
＝(2²ⁿ⁺²－2ⁿ⁺²－2ⁿ＋1)－(2²ⁿ⁺²－2－2ⁿ⁺¹－1)＝－5·2ⁿ＋4·2ⁿ＝－2ⁿ＜0,
所以b_n·b_n+2＜b.