Question

【題目】已知橢圓的左右焦點為，是橢圓上半部分的動點，連接和長軸的左右兩個端點所得兩直線交正半軸于兩點（點在的上方或重合）．

（1）當面積最大時，求橢圓的方程；

（2）當時，在軸上是否存在點使得為定值，若存在，求點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）存在,

【解析】

（1）由橢圓的方程，可得，結合三角形的面積公式和基本不等式，求得，進而求得橢圓的方程；

（2）設，設直線的方程為，分別求得的坐標，根據(jù)向量的數(shù)量積的運算，即可求解．

（1）由題意，橢圓，可得，

則，當且僅當時等號成立，

又由，解得，

所以橢圓方程為：；

（2）由題意，當時，橢圓的，

假設存在點，使得為定值，設，

設直線的方程為，

當時，，即，

由，消去可得，可得，

所以，所以，

所以，，

所以，

因為的定值，

所以，即，故點的坐標為．