Question

對于函數f(x)若存在x₀∈R，f(x₀)＝x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動點．已知f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)當a＝1，b＝－2時，求函數f(x)的不動點；
(2)若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；
(3)在(2)的條件下，若y＝f(x)圖象上A，B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，且A，B兩點關于直線y＝kx＋對稱，求b的最小值．

Answer 1

（1）－1和3.
（2）(0,1)
（3）－

解：(1)∵a＝1，b＝－2時，f(x)＝x²－x－3，
f(x)＝x⇒x²－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，
∴函數f(x)的不動點為－1和3.
(2)即f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋b－1＝x有兩個不等實根，轉化為ax²＋bx＋b－1＝0有兩個不等實根，需有判別式大于0恒成立，即Δ＝b²－4a(b－1)>0⇒Δ₁＝(－4a)²－4×4a<0⇒0<a<1，
∴a的取值范圍為(0,1)．
(3)設A(x₁，x₁)，B(x₂，x₂)，則x₁＋x₂＝－，
則A，B中點M的坐標為(，)，即M(－，－)．
∵A，B兩點關于直線y＝kx＋對稱，
且A，B在直線y＝x上，
∴k＝－1，A，B的中點M在直線y＝kx＋上．
∴－＝＋⇒b＝－＝－，
利用基本不等式可得當且僅當a＝時，b的最小值為－.