Question

（本小題滿分12分）四棱錐中，底面為矩形，側面底面，，，．

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）設與平面所成的角為，
求二面角的余弦值．

Answer 1

（I）見解析；（II）二面角C-AD-E的余弦值為。

本試題主要是考查了線線垂直的證明以及二面角的大小的求解的綜合運用。
（1I)作AO⊥BC，垂足為O，連接OD，由題設知，AO⊥底面BCDE，且OBC
中點，由知，Rt△OCD∽Rt△CDE，
從而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD，
由三垂線定理知，AD⊥CE
（II）由題意，BE⊥BC，所以BE⊥側面ABC，又BE側面ABE，所以側面ABE⊥側
面ABC。
作CF⊥AB，垂足為F，連接FE，則CF⊥平面ABE故∠CEF為CE與平面ABE所成的角，
∠CEF=45°，由CE=，得CF=
又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC為等邊三角形作CG⊥AD，垂足為G，連GE。
由（I）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C，
故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。
進而解得。
解法一：(I)作AO⊥BC，垂足為O，連接OD，由題設知，AO⊥底面BCDE，且OBC
中點，由知，Rt△OCD∽Rt△CDE，從而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD，
由三垂線定理知，AD⊥CE--------------------------------4分

（II）由題意，BE⊥BC，所以BE⊥側面ABC，又BE側面ABE，所以側面ABE⊥側
面ABC。
作CF⊥AB，垂足為F，連接FE，則CF⊥平面ABE故∠CEF為CE與平面ABE所成的角，
∠CEF=45°，由CE=，得CF=
又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC為等邊三角形作CG⊥AD，垂足為G，連GE。
由（I）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C，
故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。
CG=
GE=
cos∠CGE=
所以二面角C-AD-E的余弦值為---------------------12分
解法二：
（I）作AO⊥BC，垂足為O，則AO⊥底面BCDE，且O為BC的中點，以O為坐標原點，射線OC為x軸正向，建立如圖所示的直角坐標系O-xyz.，

設A（0,0,t），由已知條件有C(1,0,0), D(1,,0), E(-1, ,0),
，
所以，得AD⊥CE------------------4分
（II）作CF⊥AB，垂足為F，連接FE，設F（x,0,z）則=(x-1,0,z),
故CF⊥BE，又AB∩BE=B，所以CF⊥平面ABE，∠CEF是CE與平面ABE所成的角，∠CEF=45°
由CE=，得CF=，又CB=2，所以∠FBC=60°，△ABC為等邊三角形，
因此A（0，0，）作CG⊥AD，垂足為G，連接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=|AD|
故G（）
又，
所以的夾角等于二面角C-AD-E的平面角。
由cos()=
知二面角C-AD-E的余弦值為---------12分