Question

已知數列{a_n}的前n項的和S_n，滿足

3

2

an=Sn+2+(-1)n(n∈N*)．
（1）求數列{a_n}的通項公式．
（2）設Tn=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

，是否存在正整數k，使得當n≥3時，Tn∈(

k

10

，

k+1

10

)如果存在，求出k；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當n≥3時，由

3

2

an=Sn+2+(-1)n(n∈N*)①得到

3

2

an-1=Sn-1+2+(-1)n-1②，①-②得到a_n+（-1）ⁿ⁺¹=
3（a_n-1+（-1）ⁿ）．所以{a_n+（-1）ⁿ⁺¹}是等比數列．求出等比數列的通項即可得到a_n的通項公式；
（2）當k為偶數時，且當n≥3時，討論n為奇數化簡T_n得到小于

7

10

；當n為奇數時，化簡T_n也小于

7

10

，所以這樣的k存在，且根據

k+1

10

=

7

10

求得k=6．

解答：解：（1）n≥3時，由

3

2

an=Sn+2+(-1)n(n∈N*)，
得

3

2

an-1=Sn-1+2+(-1)n-1．
相減，得a_n=3a_n-1+4（-1）ⁿ（n≥2），
∴a_n+（-1）ⁿ⁺¹=3（a_n-1+（-1）ⁿ）．
∴{a_n+（-1）ⁿ⁺¹}是等比數列．
∴a_n+（-1）ⁿ⁺¹=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ+（-1）ⁿ．
（2）Tn=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

1

2

+

1

10

+

1

26

+…+

1

3n+(-1)n

當k為偶數時，

1

3k+(-1)k

+

1

3k+1+(-1)k+1

=

1

3k+1

+

1

3k+1-1

＜

3k+3k+1

3k3k+1

=

1

3k

+

1

3k+1

．
當n為奇數且n≥3時，Tn=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

1

2

+

1

10

+

1

26

+…+

1

3n+(-1)n

＜

1

2

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

=

1

2

+

1

6

（1-

1

3n-1

）＜

1

2

+

1

6

＜

7

10

當n為偶數且n≥3時，T_n=

1

2

+

1

10

+

1

26

+…+

1

3n+(-1)n

＜

n+1

i=1

1

ai

＜

7

10

所以存在k=6．

點評：考查學生會根據做差法得出數列的通項公式，會求等比數列的前n項的和，會分情況討論證明不等式．