Question

【題目】已知與相交于點，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值是___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由兩直線方程可知兩直線垂直，且分別過定點（3，1）、（1，3），所以點P的軌跡為以兩定點連線段為直徑的圓，方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2=2。因為要求的最小值，可作垂直線段CD⊥AB，根據向量的運算可得，，根據條件求得CD的長度為1，所以點D的軌跡為。根據兩圓方程可知點P的軌跡與點D的軌跡外離，故的最小值為兩圓的圓心距減去兩圓的半徑。

∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0與l2：x+my﹣3m﹣1=0，

∴l1⊥l2，l1過定點（3，1），l2過定點（1，3），

∴點P的軌跡方程為圓（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，

作垂直線段CD⊥AB，CD==1，

所以點D的軌跡為,

則，

因為圓P和圓D的圓心距為，

所以兩圓外離，

所以|PD|最小值為，

所以的最小值為4﹣2.

故答案為：4﹣2.