Question

【題目】已知函數（，e是自然對數的底，）

（1）討論的單調性；

（2）若，是函數的零點，是的導函數，求證：．

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增； （2）見解析.

【解析】

（1）先求導數，再求導函數零點，再根據與大小關系分類討論函數單調性，（2）先研究單調性，轉化所證不等式為，再根據單調性，轉化證明且．最后利用不等式性質進行論證.

（1），

設 ，

解法一：由和在上單調遞增，可知在上單調遞增，

解法二：由得可知在上單調遞增，又，

所以當時，，當時，，

①當時，，

當時，；當時，．

②當時，由得或x＝1，

當時，，，；

當時，；當時，．

綜上所述：當時，在上單調遞減，在上單調遞增；

當時，在單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）解法一（分析法）：

當時，由（1）知在上的最大值為，

可知，所以在上無零點．

若是函數的零點，則，

∵，

解法一：由和在上單調遞增，且、，可知在上單調遞增，

解法二：設，則，

由得，，所以，

可知在上單調遞增，

要證，只需證，

由（1）知在上單調遞增，

只需證，又，

只需證且．

，

由，，得，又，所以；

，由得，

綜上所述，得證．

方法二（綜合法）：

當時，由（1）知在上的最大值為，

可知，所以在上無零點．

若是函數的零點，則，

而 ，

由，，得，又，所以；

，由得，

所以，又，即，

由（1）知在上單調遞增，所以，

而，

由和在上單調遞增，且、，

可知在上單調遞增，

所以，得證．