Question

已知m∈R，命題p：對任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m²-3m恒成立；命題q：存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立
（Ⅰ）若p為真命題，求m的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1，若p且q為假，p或q為真，求m的取值范圍．
（Ⅲ）若a＞0且p是q的充分不必要條件，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由對任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m²-3m恒成立，知m²-3m≤-2，由此能求出m的取值范圍．
（Ⅱ）由a=1，且存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立，推導出命題q滿足m≤1，由p且q為假，p或q為真，知p、q一真一假．由此能求出a的范圍．
（Ⅲ）由a＞0存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立，知命題q滿足m≤a，再由p是q的充分不必要條件，能求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵對任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m²-3m恒成立
∴(2x-2)min≥m2-3m，
即m²-3m≤-2，
解得1≤m≤2，
即p為真命題時，m的取值范圍是[1，2]．
（Ⅱ）∵a=1，且存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立
∴m≤1
即命題q滿足m≤1．
∵p且q為假，p或q為真
∴p、q一真一假．
當p真q假時，則

1≤m≤2 m＞1

，即1＜m≤2，
當p假q真時，

m＜1或m＞2 m≤1

，即m＜1．
綜上所述，m＜1或1＜m≤2．
（Ⅲ）∵a＞0存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立，
∴命題q滿足m≤a，
∵p是q的充分不必要條件，
∴a≥2．

點評：本題考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意不等式的性質的合理運用．