Question

已知m∈R，命題p：對任意x∈[0，8]，不等式log

1

3

(x+1)≥m2-3m恒成立；命題q：對任意x∈(0，

2

3

π)，不等式1+sin2x-cos2x≤2mcos(x-

π

4

)恒成立．
（Ⅰ）若p為真命題，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若p且q為假，p或q為真，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）不等式log

1

3

(x+1)≥m2-3m恒成立等價于m²-3m小于或等于log

1

3

(x+1)在x∈[0，8]上的最小值，從而問題轉化為利用單調性求函數f（x）=log

1

3

(x+1)最小值問題，求得m的范圍；（2）由（1）得命題p的等價命題，再求命題q的等價命題，根據p且q為假，p或q為真，利用真值表可推得p與q有且只有一個為真，分別解不等式組即可得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）令f（x）=log

1

3

(x+1)，
則f（x）在（-1，+∞）上為減函數，
因為x∈[0，8]，所以當x=8時，f（x）_min=f（8）=-2．
不等式log

1

3

(x+1)≥m2-3m恒成立，等價于-2≥m²-3m，
解得1≤m≤2．
（Ⅱ）不等式1+sin2x-cos2x≤2mcos(x-

π

4

)恒成立，
即2sinx（sinx+cosx）≤

2

m（sinx+cosx）恒成立，
又x∈(0，

2

3

π)時，sinx+cosx為正，
所以m≥

2

sinx對任意x∈(0，

2

3

π)恒成立，
∵x∈(0，

2

3

π)，∴0＜sinx≤1，0＜

2

sinx≤

2

∴m≥

2

即命題q：m≥

2

若p且q為假，p或q為真，則p與q有且只有一個為真．
若p為真，q為假，那么

1≤m≤2 m＜ 2

，則1≤m＜

2

；
若p為假，q為真，那么

m＜1或m＞2 m≥ 2

，則m＞2．
綜上所述，1≤m＜

2

或m＞2，
即m的取值范圍是[1，

2

）∪（2，+∞）．

點評：本題考查了不等式恒成立問題的解法，求命題的等價命題的方法，利用真值表判斷命題真假的方法和應用，恰當的將恒成立問題轉化為求函數最值問題是解決本題的關鍵