Question

【題目】如圖，斜三棱柱中，側面為菱形，底面是等腰直角三角形， .

（1）求證：直線直線；

（2）若直線與底面成的角為60°，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）要證直線直線，只需證平面，分別證和即可；
（2）過作的平行線，交于點，則平面，建立空間直角坐標系，利用向量求二面角即可.

試題解析：

解：

（1）證明：連接，因為，側面為菱形，

所以，

又與相互垂直， ，

∴平面，

∴，又，

∴平面，

∵平面，所以直線直線．

（2）由（1）知，平面平面，由作的垂線，垂足為，則平面，

∴，

∴為的中點，

過作的平行線，交于點，則平面，

建立如圖所示的空間直角坐標系，設，

則為平面的一個法向量，

則， ，

設平面的法向量，

， ，

取，

，

二面角的余弦值為．