Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性并求極值；

（Ⅱ）若點(diǎn)在函數(shù)上，當(dāng)，且時(shí)，證明： （是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值；（Ⅱ）由點(diǎn)在函數(shù)上，可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可得，得恒成立，取， ，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）由題，得.

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，令，得.

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增.

的極小值為，無(wú)極大值；

（Ⅱ），代入點(diǎn)， .

.

.

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增.

.

恒成立，

即恒成立.

，令.

.

，即，

.