Question

如圖，DC⊥平面ABC，EA∥DC，AB=AC=AE=

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2

DC，M為BD的中點．
（1）求證：EM∥平面ABC；
（2）求證：平面AEM⊥平面BCD；
（3）若AB=BC=2，求三棱錐E-BCD的體積V．

Answer 1

分析：（1）取BC的中點N，連接MN、AN，利用三角形中位線定理結合已知條件證出四邊形EANM是平行四邊形，從而得到EM∥AN，利用線面平行判定定理即可證出EM∥平面ABC；
（2）利用等腰三角形“三線合一”證出AN⊥BC，由DC⊥平面ABC證出DC⊥AN，結合線面垂直判定定理可得AN⊥平面BCD，而AN∥EM可得EM⊥平面BCD，利用面面垂直判定定理即可證出平面AEM⊥平面BCD；
（3）由EM⊥平面BCD得EM是三棱錐E-BCD的高．由題中數據算出△BCD的面積為4，利用錐體的體積公式即可算出三棱錐E-BCD的體積V．

解答：解：（1）取BC的中點N，連接MN、AN，
∵M為BD的中點，∴MN∥DC且MN=

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2

DC．…（1分）
∵EA∥DC，EA=

1

2

DC，∴EA∥MN，EA=MN．
∴四邊形EANM是平行四邊形．…（2分）
∴EM∥AN．…（3分）
又∵EM?平面ABC，AN?平面ABC，…（4分）
∴EM∥平面ABC．…（5分）
（2）∵AB=AC，N為BC的中點，∴AN⊥BC．…（6分）
∵DC⊥平面ABC，AN?平面ABC，∴DC⊥AN．…（7分）
又∵DC∩BC=C，∴AN⊥平面BCD．…（8分）
∵AN∥EM，∴EM⊥平面BCD．…（9分）
∵EM?平面AEM，∴平面AEM⊥平面BCD．…（10分）
（3）由（2）知EM是三棱錐E-BCD的高．
在△ABC中，AB=BC=AC=2，
∴AN=

3

，∴EM=AN=

3

．…（11分）
在△BCD中，BC=2，CD=4，CD⊥BC，
∴△BCD的面積為S△BCD=

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2

×2×4=4．…（12分）
∴三棱錐E-BCD的體積為
V=

1

3

×S△BCD×EM=

1

3

×4×

3

=

4 3

3

．…（14分）

點評：本題在四棱錐中證明線面平行、面面垂直，并求錐體的體積．著重考查了錐體體積公式、直線與平面平行的判定定理和面面垂直判定定理等知識，屬于中檔題．