Question

18、在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁⊥A₁C．有下列條件：
①AB=AC=BC；②AB⊥AC；③AB=AC．其中能成為BC₁⊥AB₁的充要條件的是（填上該條件的序號(hào)）

①③

．

Answer 1

分析：由題意，對(duì)所給的三個(gè)條件，結(jié)合在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁⊥A₁C．作出如圖的圖象，借助圖象對(duì)BC₁⊥AB₁的充要條件進(jìn)行研究

解答：解：若①AB=AC=BC，如圖取M，N分別是B₁C₁，BC的中點(diǎn)，可得AM⊥BC，A₁N⊥B₁C₁，由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得AM，A₁N都垂直于側(cè)面B₁C₁BC，
由此知AM，A₁N都垂直于線BC₁，又BC₁⊥A₁C．結(jié)合圖形知BC₁⊥CN
又由M，N是中點(diǎn)及直三棱柱的性質(zhì)知B₁M∥CN，故可得BC₁⊥B₁M，
再結(jié)合AM垂直于線BC₁，及圖形知BC₁⊥面AMB₁，
故有BC₁⊥AB₁，
故①能成為BC₁⊥AB₁的充要條件
同理③也可
對(duì)于條件②，其不能證得BC₁⊥AB₁，故不為BC₁⊥AB₁的充要條件
綜上①③符合題意
故答案為①③

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造圖形證明線面垂直從而證明線線垂直．利用線面垂直證明線線垂直是立體幾何中證明線線垂直常用的方法．