Question

【題目】在正三棱錐中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，底面邊長(zhǎng)，則正三棱錐的外接球的表面積為____________

Answer 1

【答案】12

【解析】

取中點(diǎn)，連接；根據(jù)等腰三角形三線合一和線面垂直的判定定理可證得平面，從而得到；根據(jù)線面垂直的判定定理知平面，根據(jù)線面垂直性質(zhì)知，；由正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征知兩兩互相垂直，從而可將所求外接球轉(zhuǎn)化為正方體的外接球；根據(jù)正方體外接球半徑為體對(duì)角線的一半可求得半徑，進(jìn)而得到所求表面積.

取中點(diǎn)，連接

三棱錐為正三棱錐 ， ，

平面， 平面

平面

又，平面， 平面

平面 ，

由正棱錐側(cè)面全等可知：，即兩兩互相垂直

可將三棱錐放入如下圖所示的正方體中，其中

則三棱錐的外接球即為正方體的外接球

正方體外接球半徑：

所求外接球的表面積：

本題正確結(jié)果：