Question

【題目】設(shè)圓的圓心為A，直線過點(diǎn)B（1,0）且與軸不重合，交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

（Ⅰ）證明：為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線交C1于M,N兩點(diǎn)，過B且與垂直的直線與C1交于P,Q兩點(diǎn)， 求證：是定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（I）（）；（II）

【解析】

（I）根據(jù)幾何關(guān)系，即可證明為定值，再利用橢圓的定義即可求出點(diǎn)E的軌跡方程；

（Ⅱ）利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系以及弦長(zhǎng)公式表示出，同理可得，代入中進(jìn)行化簡(jiǎn)即可證明為定值。

（I）因?yàn)?/span>，，故，

所以，故.

又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，

所以，由題設(shè)得，，，

由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：（）.

（II）依題意：與軸不垂直，設(shè)的方程為,,.

由得,.

則，.

所以.

同理： 故(定值)