Question

如圖，橢圓G的中心在坐標原點，其中一個焦點為圓F：x²+y²-2x=0的圓心，右頂點是圓F與x軸的一個交點．已知橢圓G與直線l：x-my-1=0相交于A、B兩點．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求△AOB面積為

3 3

5

時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，圓F的標準方程為（x-1）²+y²=1，圓心為F（1，0），圓與x軸的交點為（0，0）和（2，0），由題意a=2，半焦距c=1，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 3 =1 x-my-1=0

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，所以|y₁-y₂|=

12 m2+1

3m2+4

，故S_△AOB=

1

2

•|OF|•|y₁-y₂|=

6 m2+1

3m2+4

，由△AOB面積為

3 3

5

能求出直線l的方程．

解答：解：（I）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
圓F的標準方程為（x-1）²+y²=1，
圓心為F（1，0），圓與x軸的交點為（0，0）和（2，0），
由題意a=2，半焦距c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 3 =1 x-my-1=0

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y1+y2 =

-6m

3m2+4

，y1•y2=

-9

3m2+4

，
∴|y₁-y₂|=

36m2 (3m2+4)2 + 36 3m2+4

=

12 m2+1

3m2+4

，
S_△AOB=

1

2

•|OF|•|y₁-y₂|=

6 m2+1

3m2+4

，
∵△AOB面積為

3 3

5

，∴

6 m2+1

3m2+4

=

3 3

5

，
∴

4(m2+1)

(3m2+4)2

=

3

25

，
整理，得27m⁴-28m²-52=0，
△=28²+4×27×52=4²×400，
∴m2=

28± 42×400

2×27

=

14±40

27

，
∴m²=2，或m2=-

26

27

（舍），∴m=±

2

，
∴直線l的方程為x±

2

y+1=0．

點評：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意根的判別式、韋達定理、圓的簡單性質、直線與橢圓的位置關系等知識點的合理運用．