Question

如圖，橢圓G的中心在坐標原點，其中一個焦點為圓F：x²+y²-2x=0的圓心，右頂點是圓F與x軸的一個交點．已知橢圓G與直線l：x-my-1=0相交于A、B兩點．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求△AOB面積為時，求直線l的方程．

Answer 1

解：（I）設橢圓方程為，
圓F的標準方程為（x-1）²+y²=1，
圓心為F（1，0），圓與x軸的交點為（0，0）和（2，0），
由題意a=2，半焦距c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴橢圓方程為．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴，，
∴|y₁-y₂|=
=，
S_△AOB=•|OF|•|y₁-y₂|=，
∵△AOB面積為，∴=，
∴，
整理，得27m⁴-28m²-52=0，
△=28²+4×27×52=4²×400，
∴，
∴m²=2，或（舍），∴，
∴直線l的方程為．
分析：（I）設橢圓方程為，圓F的標準方程為（x-1）²+y²=1，圓心為F（1，0），圓與x軸的交點為（0，0）和（2，0），由題意a=2，半焦距c=1，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（3m²+4）y²+6my-9=0，所以|y₁-y₂|=，故S_△AOB=•|OF|•|y₁-y₂|=，由△AOB面積為能求出直線l的方程．
點評：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意根的判別式、韋達定理、圓的簡單性質、直線與橢圓的位置關系等知識點的合理運用．