Question

已知函數f（x）=

sinπx

(x2+1)(x2-2x+2)

，下列結論正確的是

（1）（3）（4）

．
（1）方程f（x）=0在區間[-100，100]上實數解的個數是201個；
（2）函數f（x）是周期函數；
（3）函數f（x）既有最大值又有最小值；
（4）函數f（x）的定義域是R，且其圖象有對稱軸．

Answer 1

分析：方程f（x）=0即分子為0，根據正弦型函數的性質可判斷（1）的真假；由于函數分母恒大于0，且不具備周期性，而分子具有周期性，可判斷（2）的真假，根據分母中兩項值域均為[1，+∞），其倒數的值域均為（0，1]，故函數必為有界函數，進而判斷出（3）的真假；根據函數的分母恒不為0，及f（1-x）=f（x），可判斷（4）的真假．

解答：解：（1）若函數f（x）=

sinπx

(x2+1)(x2-2x+2)

=0
則sinπx=0，即x∈z，故方程f（x）=0在區間[-100，100]上實數解的個數是201個，即（1）正確；
（2）由于函數的分子呈周期性變化，而分母不具周期性，故函數f（x）不是周期函數，故（2）錯誤；
（3）令分母（x²+1）（x²-2x+2）中的兩項值域均為[1，+∞），其倒數的值域均為（0，1]，故兩個函數相乘后必為有界函數，
故函數f（x）既有最大值又有最小值，故（3）正確；
（4）由于函數的分母恒為正，故函數的定義域為R，
由f（1-x）=

sinπ(1-x)

[(1-x)2+1][(1-x)2-2(1-x)+2]

=

sinπx

(x2-2x+2)(x2+1)

=f（x），可得函數的圖象關于x=

1

2

對稱，故（4）正確；
故答案為（1）（3）（4）

點評：本題考查的知識點是正弦函數的圖象，正弦函數的對稱性，三角函數的最值，是三角函數問題的綜合應用，難度較大．