Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量 ，則λ+μ的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：以A為原點(diǎn)，以AB所在的為x軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1， 則E（ ，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）．
設(shè) P（cosθ，sinθ），∴ =（1，1）．
再由向量 =λ（ ，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（ ，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），
∴ ，∴ ，
∴λ+μ= = =﹣1+ ．
由題意得 0≤θ≤ ，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．
求得（λ+μ）′= = ＞0，
故λ+μ在[0， ]上是增函數(shù)，故當(dāng)θ=0時(shí)，即cosθ=1，這時(shí)λ+μ取最小值為 = ，
故答案為： ．
建立坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求出向量 =（ ，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示 λ和μ，根據(jù)cosθ，sinθ 的取值范圍，再結(jié)合λ+μ的單調(diào)性，求出λ+μ= 的最小值．