Question

A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O₁與圓O₂內切于點A，其半徑分別為r₁與r₂（r₁＞r₂ ）．圓O₁的弦AB交圓O₂于點C （ O₁不在AB上）．求證：AB：AC為定值．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣，向量．求向量，使得A²=．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓（φ為參數）的右焦點，且與直線（t為參數）平行的直線的普通方程．
D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
解不等式：x+|2x-1|＜3．

Answer 1

【答案】分析：A、如圖，利用 EC∥DB，AB：AC=AD：AE=2r₁：2r₂，證出結論．
B、設向量=，由 A²=，利用矩陣的運算法則，用待定系數法可得x 和 y 的值，從而求得向量．
C、把橢圓的參數方程化為普通方程，求出右焦點的坐標，把直線參數方程化為普通方程，求出斜率，用點斜式
求得所求直線的方程．
D、原不等式可化為，或，分別解出這兩個不等式組的解集，
再把解集取并集．
解答：解：A、如圖：連接AO₁并延長，交兩圓于D，E，則O₂在AD上，根據直徑對的圓周角等于90°可得，∠ACE=∠ABD=90°，
∴EC∥DB，∴AB：AC=AD：AE=2r₁：2r₂=r₁：r₂  為定值．

B、A²= =，設向量=，由 A²= 可得
=，∴，解得 x=-1，y=2，
∴向量=．
C、橢圓（φ為參數）的普通方程為+=1，右焦點為（4，0），
直線（t為參數） 即 x-2 y+2=0，斜率等于，故所求的直線方程為
y-0=（x-4），即 x-2 y-4=0．
D、原不等式可化為  ，或，
解得  ≤x＜，或-2＜x＜，故不等式的解集為 {x|-2＜x＜}．
點評：本題考查圓與圓的位置關系，參數方程與普通方程的互化，矩陣的運算法則，絕對值不等式的解法．