Question

選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．
請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講如圖，AD是∠BAC的平分線，⊙O過(guò)點(diǎn)A且與BC邊相切于點(diǎn)D，與AB，AC分別交于E，F(xiàn)，求證：EF∥BC．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知a，b∈R，若矩陣M=[

-1 b

a 3

]所對(duì)應(yīng)的變換把直線l：2x-y=3變換為自身，求a，b的值．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程將參數(shù)方程

x=2(t+ 1 t ) y=4(t- 1 t )

t為參數(shù)）化為普通方程．
D．選修4-5：已知a，b是正數(shù)，求證（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）≥92．

Answer 1

分析：A、連接OD，根據(jù)BC是⊙O的切線，可得OD⊥BC，利用AD是角平分線，可得

ED

=

FD

，從而OD⊥EF；
B、根據(jù)變換的性質(zhì)列出一組方程式，即可求解出a，b的值；
C、利用平方相減法，即可化參數(shù)方程為普通方程；
D、不等式的左邊，展開(kāi)利用基本不等式，即可證得．

解答：A．證明：連接OD
∵BC是⊙O的切線，∴OD⊥BC
∵AD是角平分線，∴

ED

=

FD

，∴OD⊥EF
∴EF‖BC
B．解：設(shè)P（x，y）為直線2x-y=3上任意一點(diǎn)其在M的作用下變?yōu)椋▁'，y'）
則利用矩陣的乘法可得：x′=-x+ay，y′=bx+3y  代入2x-y=3得：-（b+2）x+（2a-3）y=3其與2x-y=3完全一樣．
故得

-b-2=2 2a-3=-1

，∴b=-4，a=1  
C．解：由

x=2(t+ 1 t ) y=4(t- 1 t )

可得

x 2 =t+ 1 t ① y 4 =t- 1 t ②

①²-②²可得

x2

4

-

y2

16

=4，∴

x2

16

-

y2

64

=1
D．證明：（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）=2ab+

1

2ab

+2+

1

2

∵a，b是正數(shù)，∴2ab+

1

2ab

≥2
∴2ab+

1

2ab

+2+

1

2

≥

9

2

∴（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）≥

9

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查選修知識(shí)，考查幾何證明選講、矩陣變換、參數(shù)方程、不等式的證明，知識(shí)點(diǎn)較多．