Question

已知圓C過定點A(0，p)(p＞0)，圓心C在拋物線x²=2py上運動，若MN為圓C在x軸上截得的弦，設｜AM｜=m,｜AN｜=n，∠MAN=θ.
(1)當點C運動時，｜MN｜是否變化?寫出并證明你的結論?
(2)求+的最大值，并求取得最大值時θ的值和此時圓C的方程.若不存在，說明理由

Answer 1

(1)｜MN｜=2p不變化  
（2）2 ， θ=45°圓的方程為(x- p)²+(y-p)²=2p²或(x+p)²+(y-p)²=2p²

(1)設圓心C(x₀,y₀),則x²₀=2py₀，圓C的半徑｜CA｜=，其方程為(x-x₀)²+(y-y₀)²=x²₀+(y₀-p)²,令y=0，并將x²₀=2py₀，代入，得x²-2x₀x+x²₀-p²=0，解得x_m=x₀-p,x_N=x₀+p,∴｜MN｜=｜x_N-x_M｜=2p(定值)
(2)∵m=｜AM｜=,n=｜AN｜=,∴m²+n²=4p²+2x²₀,m·n=，∴+====
=2≤2，當且僅當y₀=p時等號成立，x₀=±p，此時△MCN為等腰直角三角形，且∠MCN=90°，∴∠MAN=∠MCN=45°，故當θ=45°時，圓的方程為(x- p)²+(y-p)²=2p²或(x+p)²+(y-p)²=2p²