Question

已知函數(shù).
（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)，求在上的最大值；
（3）試證明：對(duì)，不等式.

Answer 1

（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）=（3）見解析

解析試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分別解出導(dǎo)數(shù)大于0和導(dǎo)數(shù)小于0的解集，就是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；（2）由（1）知函數(shù)的單調(diào)性，利用分類整合思想，對(duì)區(qū)間端點(diǎn)與單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)比較，利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出最大值即可；（3）由（1）知的在（0，+）的最大值，列出關(guān)于的不等式，通過變形化為對(duì)恒有，令對(duì)，即可得到所證不等式.
試題解析：（1）函數(shù)的定義域是：
由已知               1分
令得，， 
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減      3分
（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
故①當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增
                  5分
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減
                  7分
③當(dāng)，即時(shí)

綜上所述，=.                   9分
（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)，      10分
∴ 在上恒有，即且當(dāng)