設函數
.
（Ⅰ）當
時，求函數
的圖象在點
處的切線方程；
（Ⅱ）已知
，若函數的圖象總在直線
的下方，求
的取值范圍；
（Ⅲ）記
為函數
的導函數．若
，試問：在區間
上是否存在
（
）個正數
…
，使得
成立？請證明你的結論.
本題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想及有限與無限思想．滿分12分．
解：（Ⅰ）當
時，
，
，
，
所以切線的斜率為
.…………………………………………2分
又
，所以切點為
.
故所求的切線方程為：
即
.…………………………………………4分
（Ⅱ）
，
，
.………………………6分
令
，則
.
當
時，
；當
時，
.
故為函數
的唯一極大值點，
所以的最大值為
=
.…………………………………………8分
由題意有
，解得
.
所以
的取值范圍為
.…………………………………………10分
（Ⅲ）當
時，
.
記
，其中
.
∵當時，
，∴
在
上為增函數，
即
在上為增函數. …………………………………………12分
又
，
所以，對任意的，總有
.
所以
，
又因為
，所以
.
故在區間上不存在使得
成立的（）個正數
…
.
………………………14分
A加金題 系列答案
全優測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
（07年寧夏、 海南卷理）（12分）
設函數
（I）若當
時，
取得極值，求
的值，并討論的單調性；
（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于
．
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年甘肅省高三（奧班）10月月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
選修4－5：不等式選講（本小題滿分10分）
設函數
,其中
。
（Ⅰ）當
時，求不等式
的解集；
（Ⅱ）若不等式
的解集為
，求a的值。
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年新人教版高三一輪復習單元測試（8）數學試卷 題型：解答題
（12分）（理）設函數
,其中
。
（Ⅰ）當
時，求不等式
的解集；
（Ⅱ）若不等式
的解集為
，求a的值。
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。
時，求函數
的極大值和極小值；
上是增函數，求實數
的取值范圍。
的最小正周期;
對任意
,有
,且當
時, 
,求函數
上的解析式.