Question

已知數列是等差數列，

(1)求數列的通項；

(2)設數列的通項 (其中a＞0，且a≠1)，

記S_n是數列的前n項和.試比較與的大小，并證明你的結論.

Answer 1

(1)設數列的公差為，由題意得

解得           ∴

(2)由知

因此要比較與的大小，可先比較與的大小.

取有

取有，

……

由此推測

 若①式成立，則由對數函數性質可斷定：

當時，

 當時，.

 下面用數學歸納法證明①式.

 (i)當時已驗證①式成立.

 (ii）假設當時，①式成立，

 即.

 那么，當時，

 ∵

∴

 因而

 這就是說①式當時也成立.

由(i)(ii)知，①式對任何自然數都成立.由此證得：

當時，

 當時，

 評述：該題是綜合題，主要考查等差數列、數學歸納法、對數函數的性質等基本知識，以及歸納猜想，等價轉化和代數式恒等變形的能力，相比之下，對能力的考查，遠遠高于對知識的考查.