Question

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在AN上，且對角線MN過C點，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）要使花壇AMPN的面積大于32平方米，求AN長的取值范圍；
（Ⅱ）若AN∈[3，4）（單位：米），則當AM，AN的長度分別是多少時，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型

專題：應用題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出矩形的長與寬，求得矩形的面積，利用矩形AMPN的面積大于32平方米，即可求得AN的取值范圍；
（Ⅱ）求導數，確定函數y=

3x2

x-2

在[3，4）上為單調遞減函數，即可求得面積的最大值．

解答： 解：設AN的長為x米（x＞2）
由于

DN

AN

=

DC

AM

，則AM=

3x

x-2

  
故S_AMPN=AN•AM=

3x2

x-2

 …（3分）
（Ⅰ）由花壇AMPN的面積大于32平方米，得

3x2

x-2

＞32，∴2＜x＜

8

3

或x＞8，即AN長的取值范圍是（2，

8

3

）∪（8，+∞）．…（6分）

（Ⅱ）令y=

3x2

x-2

，則y′=

3x(3-4)

(x-2)2

因為當x∈[3，4）時，y′＜0，所以函數y=

3x2

x-2

在[3，4）上為單調遞減函數，…（9分）
從而當x=3時y=

3x2

x-2

取得最大值，即花壇AMPN的面積最大27平方米，此時AN=3米，AM=9米   …（12分）

點評：本題考查根據題設關系列出函數關系式，考查利用導數求最值，解題的關鍵是確定矩形的面積．