Question

設函數

（1）設，，證明：在區間內存在唯一的零點；

（2）設為偶數，，，求的最小值和最大值；

（3）設，若對任意，有，求的取值范圍；

 

Answer 1

【答案】

（1）在區間內存在唯一的零點.

（2）（3）。

【解析】

試題分析：（1）由，，得 

對恒成立，從而在單調遞增，

又，，

即在區間內存在唯一的零點.       分

（2）因為 

 由線性規劃

（或，）  分

（3）當時，

（Ⅰ）當或時，即或，此時

只需滿足，從而

（Ⅱ）當時，即，此時

只需滿足，即

解得：，從而

（Ⅲ）當時，即，此時

只需滿足，即

解得：，從而

綜上所述：    分

考點：本題主要考查集合的概念，函數與方程，導數研究函數單調性的應用，指數函數性質，不等式解法。

點評：綜合題，本題綜合性較強，難度較大。確定方程只有一個實根，通過構造函數，研究其單調性實現。由，確定得到，進一步得到，求得b的范圍。