Question

某銀行的一個營業(yè)窗口可辦理四類業(yè)務(wù)，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，經(jīng)統(tǒng)計以往100位顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間（t），結(jié)果如下：

類別	A類	B類	C類	D類
顧客數(shù)（人）	20	30	40	10
時間t（分鐘/人）	2	3	4	6

注：銀行工作人員在辦理兩項業(yè)務(wù)時的間隔時間忽略不計，并將頻率視為概率．
（Ⅰ）求銀行工作人員恰好在第6分鐘開始辦理第三位顧客的業(yè)務(wù)的概率；
（Ⅱ）用X表示至第4分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)Y表示銀行工作人員辦理業(yè)務(wù)需要的時間，用頻率估計概率得Y的分布列，用A表示事件“銀行工作人員恰好在第6分鐘開始辦理第三位顧客的業(yè)務(wù)”，則事件A有兩種情形：
①辦理第一、二位業(yè)務(wù)所需的時間分別為2、3分鐘；②辦理第一、二位業(yè)務(wù)所需的時間分別為3、2分鐘；故P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2），計算可得；
（Ⅱ）由題意可知X的取值為0，1，2，X=0對應(yīng)辦理第一位的業(yè)務(wù)需時超過4分鐘，X=1對應(yīng)辦理第一位業(yè)務(wù)所需的時間為2分鐘，且辦理第二位業(yè)務(wù)所需的時間超過分鐘，或辦理第一位業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘，或辦理第一位業(yè)務(wù)所需的時間為4分鐘，X=2對應(yīng)辦理兩位顧客業(yè)務(wù)時間均為2分鐘，分別可得其概率，進而可得分布列和數(shù)學期望故EX．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)Y表示銀行工作人員辦理業(yè)務(wù)需要的時間，用頻率估計概率得Y的分布列如下：

Y	2	3	4	6
P	1 5	3 10	2 5	1 10

用A表示事件“銀行工作人員恰好在第6分鐘開始辦理第三位顧客的業(yè)務(wù)”，則事件A有兩種情形：
①辦理第一位業(yè)務(wù)所需的時間為2分鐘，且辦理第二位業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘；
②辦理第一位業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘，且辦理第二位業(yè)務(wù)所需的時間為2分鐘；
∴P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2）=

1

5

×

3

10

+

3

10

×

1

5

=

3

25

；
（Ⅱ）由題意可知X的取值為0，1，2，
X=0對應(yīng)辦理第一位的業(yè)務(wù)需時超過4分鐘，故P（X=0）=P（Y＞4）=

1

10

，
X=1對應(yīng)辦理第一位業(yè)務(wù)所需的時間為2分鐘，且辦理第二位業(yè)務(wù)所需的時間超過分鐘，
或辦理第一位業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘，或辦理第一位業(yè)務(wù)所需的時間為4分鐘，
故P（X=1）=P（Y=2）P（Y＞2）+P（Y=3）+P（Y=4）=

1

5

×

4

5

+

3

10

+

2

5

=

43

50

，
X=2對應(yīng)辦理兩位顧客業(yè)務(wù)時間均為2分鐘，故P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）=

1

5

×

1

5

=

1

25

，
故X的分布列為：

X	0	1	2
P	1 10	43 50	1 25

故EX=0×

1

10

+1×

43

50

+2×

1

25

=

47

50

點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列，涉及數(shù)學期望的求解和頻率分布表的應(yīng)用，屬中檔題．