Question

某銀行的一個營業窗口可辦理四類業務，假設顧客辦理業務所需的時間互相獨立，且都是整數分鐘，經統計以往100位顧客辦理業務所需的時間（t），結果如下：

類別	A類	B類	C類	D類
顧客數（人）	20	30	40	10
時間t（分鐘/人）	2	3	4	6

注：銀行工作人員在辦理兩項業務時的間隔時間忽略不計，并將頻率視為概率．
（Ⅰ）求銀行工作人員恰好在第6分鐘開始辦理第三位顧客的業務的概率；
（Ⅱ）用X表示至第4分鐘末已辦理完業務的顧客人數，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）設Y表示銀行工作人員辦理業務需要的時間，用頻率估計概率得Y的分布列如下：

Y	2	3	4	6
P

用A表示事件“銀行工作人員恰好在第6分鐘開始辦理第三位顧客的業務”，則事件A有兩種情形：
①辦理第一位業務所需的時間為2分鐘，且辦理第二位業務所需的時間為3分鐘；
②辦理第一位業務所需的時間為3分鐘，且辦理第二位業務所需的時間為2分鐘；
∴P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2）==；
（Ⅱ）由題意可知X的取值為0，1，2，
X=0對應辦理第一位的業務需時超過4分鐘，故P（X=0）=P（Y＞4）=，
X=1對應辦理第一位業務所需的時間為2分鐘，且辦理第二位業務所需的時間超過分鐘，
或辦理第一位業務所需的時間為3分鐘，或辦理第一位業務所需的時間為4分鐘，
故P（X=1）=P（Y=2）P（Y＞2）+P（Y=3）+P（Y=4）=++=，
X=2對應辦理兩位顧客業務時間均為2分鐘，故P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）==，
故X的分布列為：

X	0	1	2
P

故EX==
分析：（Ⅰ）設Y表示銀行工作人員辦理業務需要的時間，用頻率估計概率得Y的分布列，用A表示事件“銀行工作人員恰好在第6分鐘開始辦理第三位顧客的業務”，則事件A有兩種情形：
①辦理第一、二位業務所需的時間分別為2、3分鐘；②辦理第一、二位業務所需的時間分別為3、2分鐘；故P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2），計算可得；
（Ⅱ）由題意可知X的取值為0，1，2，X=0對應辦理第一位的業務需時超過4分鐘，X=1對應辦理第一位業務所需的時間為2分鐘，且辦理第二位業務所需的時間超過分鐘，或辦理第一位業務所需的時間為3分鐘，或辦理第一位業務所需的時間為4分鐘，X=2對應辦理兩位顧客業務時間均為2分鐘，分別可得其概率，進而可得分布列和數學期望故EX．
點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列，涉及數學期望的求解和頻率分布表的應用，屬中檔題．