Question

【題目】已知函數（a∈R且a≠0）.

（1）當a時，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）討論函數f（x）的單調性與單調區間；

（3）若y＝f（x）有兩個極值點x1，x2，證明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna.

Answer 1

【答案】（1）x+y﹣21＝0.（2）答案不唯一，具體見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）根據a，得到求導，再利用導數的幾何意義求切線方程.

（2）根據f′（x）＝2，由﹣x2+2x﹣a＝0，根據定義域，分△＝12﹣4a＞0且，a＜0，△≤0，三種情況討論求解.

（3）根據y＝f（x）有兩個極值點x1，x2，由（2）知，﹣x2+2x﹣a＝0有兩個正根x1，x2，△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1x2＝a＞0，然后將f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，轉化為alna﹣lna﹣a+2＞0，a∈（0，3）成立，構造函數g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，利用導數法求其最小值即可.

（1）因為a時，，

所以f′（x）＝2x，f′（1）＝﹣1，f（1）＝2，

所以曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y﹣2（x﹣1），

即x+y﹣21＝0.

（2）由題意可知f（x）的定義域為（0，+∞），

因為f′（x）＝2，由﹣x2+2x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a＞0，即a＜3時，有x1，x2，x1＞x2，

當a∈（0，3）時，滿足x1＞x2＞0，

所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）時，f′（x）＜0，

即f（x）在區間（0，x2）和（x1，+∞）上為減函數.

又x∈（x2，x1）時，f′（x）＞0，即f（x）在區間（x2，x1）上為增函數.

當a＜0時，有x1＞0，x2＜0，則x∈（0，x1）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；x∈（x1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；

當a≥3時，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）為減函數，

綜上所述，當a＜0時，在（0，3），f（x）為增函數；在（3，+∞），f（x）為減函數；

當0＜a＜3時，f（x）在區間（0，3）和（3，+∞）上為減函數，在（3，3），f（x）為增函數；

當a≥3時，在（0，+∞）上，f（x）為減函數.

（3）因為y＝f（x）有兩個極值點x1，x2，

則f′（x）0有兩個正根x1，x2，即﹣x2+2x﹣a＝0有兩個正根x1，x2，可得：△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1x2＝a＞0，

即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，

若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，

構造函數g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，則g′（x）＝1+lnx1＝lnx，且在（0，3）上為增函數，

又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln20，

所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，

即lnx0，且x∈（1，x0）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，x∈（x0，2）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，

所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），

又因為x0∈（1，2），則x0∈（2，），

所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立.