Question

在平面直角坐標系xOy中，動點M到直線x=-1的距離等于它到圓F：（x-2）²+y²=1的點的最小距離．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）已知過點F的直線與點M的軌跡交于A，B兩點，且|AF|=8，求|BF|的長．

Answer 1

（1）設動點M（x，y），則
∵動點M到直線x=-1的距離等于它到圓F：（x-2）²+y²=1的點的最小距離
∴|x+1|=

(x-2)2+(y-0)2-1

，…（3分）
化簡得：6x-2+2|x+1|=y²，
當x≥-1時，y²=8x；…（5分）
當x＜-1時，y²=4x-4＜-8，不合題意．
所以點M的軌跡方程為：y²=8x．…（7分）
（2）拋物線的準線方程為x=-2．
過點A作準線的垂線AM，垂足為M，AM交y軸于點E，過點A作x軸垂線，垂足為H．
過點B作準線的垂線BN，垂足為N，
由拋物線的定義知：AF=AM=8．
因為ME=OF=2，所以AE=6，FH=4．
在Rt△AHF中，AF=8，FH=4，所以∠AFH=60°．…（10分）
直線AB的方程為y=

3

（x-2）代入y²=8x，可得
3x²-20x+12=0
∴x=6，或x=

2

3

∴A（6，4

3

），B（

2

3

，-

4 3

3

）．
∴BF=BN=

2

3

+2=

8

3

．…（14分）