Question

已知，點滿足，記點的軌跡為.
（Ⅰ）求軌跡的方程；（Ⅱ）若直線過點且與軌跡交于、兩點. （i）設點，問：是否存在實數，使得直線繞點無論怎樣轉動，都有成立？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由.（ii）過、作直線的垂線、，垂足分別為、，記
，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅰ）由知，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線右支，由，∴，故軌跡E的方程為…………3分
（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設直線l方程為，與雙曲線方程聯立消得，設、，
∴，   解得 ……………5分
（i）∵

   
……………………7分
假設存在實數，使得，
故得對任意的恒成立，
∴，解得   ∴當時，.
當直線l的斜率不存在時，由及知結論也成立，
綜上，存在，使得. …………………………………………8分
（ii）∵，∴直線是雙曲線的右準線，…………………………9分
由雙曲線定義得：，，
方法一：∴
 …………………………………………10分
∵，∴，∴………………………………………11分
注意到直線的斜率不存在時，，綜上， …………………12分
   方法二：設直線的傾斜角為，由于直線

與雙曲線右支有二個交點，∴，過
作，垂足為，則，          
∴ …（10分）
由，得 故： …（12分）