Question

設命題p：非零向量

a

，

b

，|

a

|=|

b

|是(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)的充要條件；命題q：“x＞1”是“x＞3”的充要條件，則（　　）

A．p∧q為真命題

B．p∨q為假命題

C．^?p∧q為假命題

D．^?p∨q為真命題

Answer 1

分析：根據兩個向量數量積的性質和非零向量垂直的充要條件，討論可得命題p是真命題．根據充分、必要條件的含義和不等式的性質，可得命題q是假命題．由此對照各個選項，就不難得出正確答案了．

解答：解：對于p，非零向量

a

，

b

，若|

a

|=|

b

|成立，則
(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=|

a

| 2-|

b

| 2=0，可得(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)成立；
反之，若(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)成立，可得(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=|

a

| 2-|

b

| 2=0，
所以|

a

| 2=|

b

| 2，即|

a

|=|

b

|成立，
綜上所述，命題p：“非零向量

a

，

b

，|

a

|=|

b

|是(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)的充要條件”是真命題．
對于q，：“x＞1”不一定推出“x＞3”，反之“x＞3”一定推出“x＞1”，
所以，“x＞1”是“x＞3”的必要不充分條件．命題q是假命題
∴命題p是真命題且命題q是假命題，由此可得：^?p∧q為假命題
故選C

點評：本題以向量的運算和不等式的性質為載體，著重考查了復合命題的真假和必要條件、充分條件與充要條件的判斷等知識點，屬于基礎題．