已知數列
，
是其前
項的和，且滿足
，對一切
都有
成立，設
．
（1）求
；
（2）求證：數列
是等比數列；
（3）求使
成立的最小正整數的值．
(1)
;(2)證明見解析；(3)5.
解析試題分析：(1)只求
，只要在中令
民，則有
，而
，故；(2)要證明數列 是等比數列，就是要證明
為非零常數，因此首先要找到
與
的關系，這由已知式中用
代換
可得
，兩式相減，得
，這個式子中只要把用
代換即可得結論
，當然說明
，且要計算出
，才能說明 是等比數列；(3)只要把和式
求出，它是一個等比數列的和，故其和為
，然后解不等式
，可得
，從而得出最小值為5.
試題解析：(1)由及
當
時
故
(2)由及
得
，故
，
即，當
時上式也成立,
,故是以3為首項，3為公比的等比數列
(3)由（2）得
故
解得
，最小正整數的值5
考點：(1)數列的項；(2)等比數列的定義；(3)等比數列的前項和.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，滿足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比數列{bn}的前三項．
(1)求數列{an}及{bn}的通項公式；
(2)是否存在常數a＞0且a≠1，使得數列{an－logabn}(n∈N*)是常數列？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設無窮等比數列
的公比為q，且
，
表示不超過實數
的最大整數（如
）,記
，數列的前
項和為
，數列
的前項和為
.
（Ⅰ）若
，求；
（Ⅱ）若對于任意不超過
的正整數n，都有
，證明：
.
（Ⅲ）證明：
（
）的充分必要條件為
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知曲線C：y＝x2(0≤x≤1)，O(0，0)，Q(1，0)，R(1，1)．取線段OQ的中點A1，過A1作x軸的垂線交曲線C于P1，過P1作y軸的垂線交RQ于B1，記a1為矩形A1P1B1Q的面積．分別取線段OA1，P1B1的中點A2，A3，過A2，A3分別作x軸的垂線交曲線C于P2，P3，過P2，P3分別作y軸的垂線交A1P1，RB1于B2，B3，記a2為兩個矩形A2P2B2 A1與矩形A3P3B3B1的面積之和．以此類推，記an為2n－1個矩形面積之和，從而得數列{an}，設這個數列的前n項和為Sn．
(Ｉ)求a2與an；
(Ⅱ)求Sn，并證明Sn＜
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知點
是函數
的圖象上一點，數列
的前n項和
.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）將數列前2013項中的第3項，第6項， ，第3k項刪去，求數列前2013項中剩余項的和.
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中，
，若函數
，在點
處切線過點
為等比數列；
.
為等差數列，
為其前
項和，且
是等比數列；
為等比數列，其前
項和為
，已知
，且
，
，
成等差，
（
），記
，若
對于
恒成立，求實數
的取值范圍.