Question

若直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦長為4，則

1

a

+

1

b

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由已知中圓的方程x²+y²+2x-4y+1=0我們可以求出圓心坐標，及圓的半徑，結合直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦長為4，我們易得到a，b的關系式，再根據基本不等式中1的活用，即可得到答案．

解答：解：圓x²+y²+2x-4y+1=0是以（-1，2）為圓心，以2為半徑的圓，
又∵直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦長為4，
故圓心（-1，2）在直線ax-by+2=0上
即：

a

2

+b=1
則

1

a

+

1

b

=

a 2 +b

a

+

a 2 +b

b

=（

1

2

+1）+（

b

a

+

a

2b

）≥

3

2

+

2

故

1

a

+

1

b

的最小值為

3

2

+

2

故答案為：

3

2

+

2

．

點評：本題考查的知識點是直線與圓相交的性質，基本不等式，其中根據已知條件，分析出圓心在已知直線上，進而得到a，b的關系式，是解答本題的關鍵．