Question

若直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，則

1

a

+

1

b

的最小值為（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  2

• C、

  3

  2

  +

  2

• D、

  3

  2

  +2

  2

Answer 1

分析：圓即 （x+1）²+（y-2）²=4，表示以M（-1，2）為圓心，以2為半徑的圓，由題意可得 圓心在直線ax-by+2=0上，得到a+2b=2，故

1

a

+

1

b

=

1

2

+

b

a

+

a

2b

+1，利用基本不等式求得式子的最小值．

解答：解：圓x²+y²+2x-4y+1=0 即  （x+1）²+（y-2）²=4，表示以M（-1，2）為圓心，以2為半徑的圓，
由題意可得 圓心在直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上，故-1a-2b+2=0，
即 a+2b=2，∴

1

a

+

1

b

=

a+2b 2

a

+

a+2b 2

b

=

1

2

+

b

a

+

a

2b

+1≥

3

2

+2

1 2

=

3

2

+

2

，
當且僅當 

b

a

=

a

2b

 時，等號成立，
故選 C．

點評：本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，以及基本不等式的應用，得到a+2b=2，
是解題的關鍵．