Question

已知向量與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系可用表示．
（1）設(shè)，求向量的坐標(biāo)；
（2）證明：對(duì)于任意向量及常數(shù)m、n，恒有成立；
（3）求使成立的向量．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用題中的對(duì)應(yīng)關(guān)系求出 f（ ）=（1，2-1）=（1，1），f（）=（0，2×0-1）=（0，-1），
（2） 設(shè)出任意向量的坐標(biāo)，分別計(jì)算要證等式的左邊的右邊，比較計(jì)算結(jié)果可得等式成立．
（3）設(shè) =（x，y），則 f（）=（y，2y-x），∴，解方程可求向量的坐標(biāo)．
解答：解：（1）f（ ）=（1，2-1）=（1，1），f（）=（0，2×0-1）=（0，-1），
∴．
（2）設(shè)，∴m+n=（mx₁+nx₂，my₁+ny₂ ），
∴f（m+n ）=（ my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂ ），
∴mf（）+nf（）=m（y₁，2y₁-x₁ ）+n（y₂，2y₂-x₂ ）=（ my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂ ），
∴對(duì)于任意向量及常數(shù)m、n，成立．
（3）設(shè) =（x，y），則 f（）=（y，2y-x），∴，
∴x=1，y=3，∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，以及用待定系數(shù)法求向量的坐標(biāo)．