Question

已知向量與向量的對應關系可用表示．
（1）設，求向量的坐標；
（2）證明：對于任意向量及常數m、n，恒有成立；
（3）求使成立的向量．

Answer 1

解：（1）f（ ）=（1，2-1）=（1，1），f（）=（0，2×0-1）=（0，-1），
∴．
（2）設，∴m+n=（mx₁+nx₂，my₁+ny₂ ），
∴f（m+n ）=（ my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂ ），
∴mf（）+nf（）=m（y₁，2y₁-x₁ ）+n（y₂，2y₂-x₂ ）=（ my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂ ），
∴對于任意向量及常數m、n，成立．
（3）設 =（x，y），則 f（）=（y，2y-x），∴，
∴x=1，y=3，∴．
分析：（1）直接利用題中的對應關系求出 f（ ）=（1，2-1）=（1，1），f（）=（0，2×0-1）=（0，-1），
（2） 設出任意向量的坐標，分別計算要證等式的左邊的右邊，比較計算結果可得等式成立．
（3）設 =（x，y），則 f（）=（y，2y-x），∴，解方程可求向量的坐標．
點評：本題考查兩個向量坐標形式的運算，以及用待定系數法求向量的坐標．