Question

【題目】如圖1所示，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點E，F分別是邊CD，CB的中點，EF∩AC=O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA，PB，PD，得到如圖2所示五棱錐P﹣ABFED，且AP= ，
（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明： PO⊥EF，AO⊥EF，所以EF⊥平面POA，因為BD∥EF

∴BD⊥平面POA

則PO⊥BD，又AO⊥BD，AO∩PO=O，AO平面APO，PO平面APO，

∴BD⊥平面APO

（2）解：因為AP= ，可證PO⊥AO，所以EF，PO，AO互相垂直

以O為原點，OA為x軸，OF為y軸，OP為z軸，建立坐標系，

則O（0，0，0），A（3 ，0，0），P（0，0， ），B（ ，2，0），

設 =（x，y，z）為平面OAP的一個法向量，

則 =（0，1，0）， =（x，y，z）為平面ABP的一個法向量，

=（﹣2 ，2，0）， =（﹣3 ，0， ），

則 ，令x=1，則y= ，z=3，

則 =（1， ，3）…．cosθ= = ，∴tanθ=

∴二面角B﹣AP﹣O的正切值為

【解析】（1）證明PO⊥BD，AO⊥BD，可得BD⊥平面APO，（2）以O為原點，OA為x軸，OF為y軸，OP為z軸，建立坐標系，則O（0，0，0），A（3 ，0，0），P（0，0， ），B（ ，2，0），求出平面OAP的一個法向量，平面ABP的一個法向量即可
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．