Question

【題目】已知函數．

(1)若函數為上的奇函數，求實數a的值；

(2)當時，函數在為減函數，求實數a的取值范圍；

(3)是否存在實數()，使得 在閉區間上的最大值為2，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）利用函數是奇函數定義，列出關系式，即可求出a的值；

（2）推出二次函數的性質，列出不等式求解即可；

（3）化簡函數為分段函數，通過討論a的范圍，列出關系式求解即可．

解：（1）因為奇函數f（x）定義域為R，

所以f（﹣x）=﹣f（x）對任意x∈R恒成立，

即|﹣x|（﹣x﹣a）=﹣|x|（x﹣a），即|x|（﹣x﹣a+x﹣a）=0，

即2a|x|=0對任意x∈R恒成立，

所以a=0．

因為，所以，

顯然二次函數的對稱軸為，由于函數在上單調遞減，

所以，即。

∵a＜0，，

∴f（﹣1）=﹣1﹣a≤2，∴﹣a≤3（先用特殊值約束范圍）

∴，f（x）在（0，+∞）上遞增，

∴f（x）必在區間[﹣1，0]上取最大值2．

當，即a＜﹣2時，則f（﹣1）=2，a=﹣3，成立

當，即0＞a≥﹣2時，，則（舍）

綜上，a=﹣3．