Question

【題目】已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且，若對于任意的m，有.

(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性（不要求證明）；

(2)解不等式；

(3)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；(2)；(3).

【解析】

（1）設(shè)，化簡得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可得到結(jié)論；

（2）由(1)知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，根據(jù)，列出不等式組，即可求解不等式的解集；

(3)要使得對于任意的，都有恒成立，只需對任意的，恒成立，再結(jié)合關(guān)于a的一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

（1）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).

證明：由題意可知，對于任意的m，有，

設(shè)，則，即，

當(dāng)時，，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時，，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，

綜上，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù).

（2）由(1)知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

因為，可得，解得解得，

所以不等式的解集為.

(3)因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且，

要使得對于任意的，都有恒成立，

只需對任意的，恒成立.

令，此時y可以看作a的一次函數(shù)，且在時，恒成立.

因此只需，解得解得，

所以實數(shù)t的取值范圍為.