Question

【題目】已知函數，曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數的底數）．

（1）求的解析式及單調遞減區間；

（2）是否存在常數，使得對于定義域內的任意， 恒成立，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），單調遞減區間為和．（2）

【解析】試題分析：

(1)由題意可得，對函數求導可得函數的單調減區間為和

(2)不等式等價于

①當時，令，由函數的性質可得；

②當時，可得，

綜合①②可得： .

試題解析：

（I），

又由題意有： ，

故

此時， ，

由或，

函數的單調減區間為和

（說明：減區間寫為的扣分）．

（II）要恒成立，

即

①當時， ，則要： 恒成立，

令，

再令，

在內遞減，

當時， ，

故，

在內遞增， ；

②當時， ，則要： 恒成立，

由①可知，當時， ，

在內遞增，

當時， ，故，

在內遞增， ，

綜合①②可得： ，

即存在常數滿足題意．