Question

已知向量

a

=（2cos

x

2

，1），

b

=（cos

π+x

2

，3cosx），
（1）當

a

⊥

b

時，求cos²x-sin2x的值；
（2）設函數f（x）=（

a

-

b

）•

a

，在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且f（A）=4，a=

10

，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積公式計算，可得tanx=3，再將弦化切，即可求得結論；
（2）先確定并化簡函數解析式，利用f（A）=4，求出A，根據a=

10

，可得b²+c²=10，利用基本不等式，可得△ABC的面積S的最大值．

解答：解：（1）由題意，可得2cos

x

2

cos

π+x

2

+3cosx=0
∴-sinx+3cosx=0，∴tanx=3
∴cos²x-sin2x=

cos2x-sin2x

cos2x+sin2x

=

1-2tanx

1+tan2x

=-

1

2

；
（2）f（x）=（2cos

x

2

+sin

x

2

，1-3cosx）•（2cos

x

2

，1）=sinx-cosx+3=

2

sin（x-

π

4

）+3
∵f（A）=4，∴

2

sin（A-

π

4

）+3=4，∴sin（A-

π

4

）=

2

2

∵A∈（0，π），∴A-

π

4

=

π

4

，∴A=

π

2

∵a=

10

，∴b²+c²=10
∴△ABC的面積S=

1

2

bc≤

1

2

×

1

2

（b²+c²）=

5

2

，當且僅當b=c=

5

時等號成立
∴△ABC的面積S的最大值為

5

2

點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數的化簡，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．