Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓 + =1（a＞b＞0）的離心率為e，D為右準線上一點．

（1）若e= ，點D的橫坐標為4，求橢圓的方程；
（2）設斜率存在的直線l經過點P（ ，0），且與橢圓交于A，B兩點．若 + = ，DP⊥l，求橢圓離心率e．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由橢圓的離心率e= = ，則a=2c，①橢圓的右準線方程x= ，

由 =4，則a2=4c，②，解得：a=2，c=1，

b2=a2﹣c2=3，

∴橢圓的標準方程：

（2）

解：方法一：設直線AB的方程：x=my+ ，A（x1，y1），B（x2，y2），

，整理得：（a2+b2m2）y2+ ab2my﹣ a2b2=0，

y1+y2=﹣ ，則x1+x2=m（y1+y2）+ = ，

由 + = ，則 =（x1+x2，y1+y2）=（ ，﹣ ），

則D（ ，﹣ ），由D在橢圓的右準線上，則 = ，整理得3ac=2（a2+b2m2），

∴D（ ，﹣ ），則直線PD的斜率 =﹣ ，

由DP⊥l，則﹣ =﹣m，整理得4b2=4a2﹣3ac，即3ac=4（a2﹣b2）=4c2，則3a=4c，

∴橢圓的離心率e= = ，

橢圓離心率e的值為 ．

方法二：設D（ ，y），P（ ，0），則直線DP的斜率kPD= = ，

設A（x1，y1），B（x2，y2），由 + = ，則 ，

則 ，兩式相減，整理得： =﹣ × =﹣ × =﹣ ，

∴直線l的斜率kAB=﹣ ，

∴DP⊥l，則kPDkAB=﹣1，

×（﹣ ）=﹣1，整理得4b2=4a2﹣3ac，即3ac=4（a2﹣b22，則3a=4c，

∴橢圓的離心率e= = ，

橢圓離心率e的值為

【解析】（1）由橢圓的離心率e= = ，a=2c，準線 =4，即可求得a和c，則b2=a2﹣c2=3，即可求得橢圓方程；（2）方法一：設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的坐標運算，即可求得D點坐標，由D的橫坐標為 ，即可表示出D點坐標，即可求得直線PD的斜率，由kPDkAB=﹣1，即可求得a和c的關系，即可求得橢圓離心率e；
方法二：設D點坐標，求得直線PD的方程，利用點差法及向量的數量積，即可求得直線AB的斜率，由kPDkAB=﹣1，即可求得a和c的關系，即可求得橢圓離心率e．