Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分別是PB，BC的中點．
求證：
（1）PC∥平面DEF；
（2）平面PBC⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵E，F分別是PB，BC的中點，

∴PC∥EF，

又PC平面DEF，EF平面DEF，

∴PC∥平面DEF

（2）證明：取CD的中點M，連結BM，

則AB DM，又AD⊥AB，AB=AD，

∴四邊形ABMD是正方形，

∴BM⊥CD，BM=CM=DM=1，BD= ，

∴BC= ，

∴BD2+BC2=CD2，

∴BC⊥BD，又BC⊥PD，BD∩PD=D，

∴BC⊥平面PBD，

又BC平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PBD．

【解析】（1）由中位線定理可得PC∥EF，故而PC∥平面DEF；（2）由直角梯形可得BC⊥BD，結合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBC⊥平面PBD．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．